Abstract
(IT)
Nel 2010, Ghiloni e Perotti hanno mostrato come una funzione slice regolare f da un'algebra A reale alternante in sé è indotta, in un senso appropriato, da una funzione olomorfa F da C al complessificato di A; a prima vista, però, i valori di f e quelli di F non sono legati in modo "olomorfo". Voglio mostrare, nel caso in cui A è l'algebra dei quaternioni H, come, in realtà, l'insieme dei valori di F che inducono uno zero di f sia una sottovarietà complessa del complessificato di H e come, dunque, alcuni risultati sulle funzioni slice regolari possano essere riletti in termini delle classiche proprietà delle funzioni olomorfe. Inoltre, questo approccio fornisce un'identificazione dell'insieme delle unità immaginarie di H con una sottovarietà complessa di una opportuna grassmanniana (complessa), quindi, in ultima analisi, una struttura complessa su di essa compatibile (in un senso opportuno) con la slice regolarità; quest'ultima interpretazione si ricollega al lavoro di Gentili, Salamon, Stoppato sul sollevamento twistoriale di una funzione slice-regolare.
Infine, avendone il tempo, accennerò al caso più generale di un'algebra associativa.
(EN)
In 2010, Ghiloni and Perotti showed how a slice-regular function f from a real alternative algebra A to itself is induced, in a suitable sense, by a holomorphic function F from the complex numbers to the complexification of A; however, there is no evident "holomorphic" link between the values of f and the values of F.
I want to show, in the particular case where A is the algebra of quaternions H, how the set of values of F which induce a zero of f is actually a complex subspace of the complexification of H and how a number of properties of slice-regular functions can be therefore deduced from the classical properties of holomorphic functions.
Moreover, this approach gives an identification of the set of imaginary units of H with a complex submanifold of a (complex) grassmannian, or, in other words, how we obtain a natural complex structure on such set which is compatible with slice-regularity; this point of view is linked to the work of Gentili, Salamon, Stoppato on the twistorial lift of a slice-regular function.
If time permits, I'll hint also to the general approach for the case of an associative algebra.
