Agli inizi del '900, Zoll dimostrò l'esistenza di metriche a curvatura non costante sulla 2-sfera, tutte le cui geodetiche sono chiuse.
Tale risultato generò un notevole interesse verso lo studio delle varietà Riemanniane tutte le cui geodetiche sono chiuse. Tra i molti problemi aperti, una congettura di Berger sostiene che, se la varietà è menplicemente connessa e tutte le geodetiche sono chiuse, allora le geodetiche hanno un periodo comune. La congettura è stata dimostrata solo per la 2-sfera, da Grove e Gromoll.

Lo scopo di questo seminario è di mostrare un lavoro recente in collaborazione con Burkhard Wilking, in cui si verifica la congettura di Berger per tutte le sfere di dimensione >3. Se il tempo permette, discuterò di come potrebbe essere possibile estendere tale risultato al caso generale.