In questo seminario ricorderemo gli enunciati principali della teoria di Hodge su varietà Riemanniane compatte e orientabili, per poi esplorare il caso non compatto. Definiremo lo spazio di forme L2 e ne vedremo la cosiddetta decomposizione debole di Kodaira. Assumendo la completezza della metrica, costruiremo opportune funzioni cut-off che ci permetteranno di estendere alcuni risultati fondamentali della teoria di Hodge dal caso compatto a quello non compatto. Il seminario sarà pensato per essere accessibile a chi abbia seguito i corsi di Geometria 3 e Analisi 3.