I Laboratori PLS coinvolgono una varietà di temi. Alcuni sono abbastanza circoscritti mentre altri sono contenitori enormi: in tutti i casi si vuole lasciare ai docenti coordinatori dei laboratori un ampio margine di manovra. Le Scuole interessate ad attivare un Laboratorio PLS sono invitate a contattare preventivamente il docente proponente indicato nelle schede sottostanti. Commenti e suggerimenti sono sempre molto graditi.

Docenti di riferimento:
Prof. Andrea CATTANEO | e-mail: andrea.cattaneo@unipr.it 
Prof. Alberto SARACCO | e-mail: alberto.saracco@unipr.it

A partire dal V postulato di Euclide, si possono indagare i postulati della geometria euclidea o di una teoria matematica; cercare proprietà equivalenti al quinto postulato; indagare cosa succede negando il V postulato o modificando altri postulati. Si può esplorare la geometria iperbolica, quella sferica o ellittica. Si può finire a parlare di fisica moderna, di curvatura dello spazio e di geometrie basate sulla metrica e non sugli assiomi. Adatto per chi ha già affrontato bene la geometria euclidea.
 

Alcuni video sull'argomento:

Docenti di riferimento:
Prof. Andrea CATTANEO | e-mail: andrea.cattaneo@unipr.it 
Prof. Alberto SARACCO | e-mail: alberto.saracco@unipr.it

Si parlerà delle elezioni da un punto di vista logico-matematico, con tanti risultati paradossali, che i politici preferiscono tacere e ignorare. Inoltre ci potranno essere incursioni in curiosità elettorali del passato.

  1. Paradosso del gelataio, ovvero votazioni su un singolo argomento
  2. Votazioni su più argomenti: il problema dell'alternativa maggioritaria
  3. Matematizzazione di un'elezione
  4. Il paradosso di Arrow (l'unico sistema elettorale buono è la dittatura)
  5. Problemi con i seggi e le circoscrizioni elettorali
  6. Il doppio proporzionale non funziona

Video playlist La matematica della politica.

Docenti di riferimento:
Prof. Andrea CATTANEO | e-mail: andrea.cattaneo@unipr.it 
Prof. Alberto SARACCO | e-mail: alberto.saracco@unipr.it

N.B.: Una buona manualità è di aiuto nel laboratorio.

L’origami è l’arte giapponese di piegare la carta: a partire da un foglio di carta quadrato, senza effettuare tagli né incollamenti, è possibile ricreare le figure più svariate eseguendo opportune sequenze di pieghe (rose, elefanti, uccelli, vasi di fiori coi loro fiori, etc). Oltre a questa componente artistica, l’origami offre anche la possibilità di studiare rapporti tra lunghezze, anzi è possibile definire una vera e propria geometria-origami.

In questo laboratorio esploreremo alcuni aspetti di base di questa geometria mediante la costruzione di semplici modelli, ad esempio: come ricavare un foglio di carta quadrato, a forma di triangolo equilatero o di esagono, oppure rettangolare coi lati in proporzione data. In seguito si può arrivare anche ad affrontare costruzioni più complesse, che possono essere usate anche per risolvere alcune equazioni di secondo grado, oppure costruzioni che non sono possibili facendo costruzioni con riga e compasso, ma che diventano possibili nella geometria-origami, come ad esempio la trisezione dell’angolo.

Video Triangoli equilateri con l'origami e fiocchi di neve.

Docente di riferimento:  
Prof. Francesco MORANDIN | e-mail: francesco.morandin@unipr.it 

Durata: 15 ore.

Si tratta di un percorso esplorativo, in cui gli studenti sono guidati a scoprire i numeri complessi in modo in gran parte autonomo e realmente laboratoriale. Gli studenti saranno messi di fronte alla necessità di introdurre l’unità immaginaria e saranno portati a delineare le proprietà minime che questa e i numeri complessi dovranno rispettare perché si possa continuare a applicarvi le normali operazioni. Gradualmente emergeranno definizioni e proprietà, interpretazione geometrica e relazioni con lo studio dei polinomi.
Questo laboratorio è adatto ad un gruppo non troppo numeroso di studenti che non conoscano già i numeri complessi. Non ci sono prerequisiti matematici.

Docente di riferimento:  
Prof. Francesco MORANDIN | e-mail: francesco.morandin@unipr.it 

Durata: da 15 a 20 ore a seconda delle esigenze.

Tutti conoscono i file compressi, ma pochi sanno cosa significhi “comprimere” un file e come sia possibile, vista la natura digitale e discreta dei dati in ambito informatico. In realtà, molti cosiddetti nativi digitali non sanno nemmeno cosa sia esattamente un "file". Questo laboratorio permetterà di comprendere a fondo la natura delle informazioni custodite nei supporti informatici e di familiarizzare con le principali tecniche di compressione. Vi sarà una parte minima di spiegazione frontale, ma la gran parte delle ore saranno impiegate dagli studenti per fare esperimenti al calcolatore o (qualche volta) con carta e penna.
Questo laboratorio è adatto ad un gruppo di studenti con competenze di programmazione, almeno un terzo dei quali dovrebbe essere in grado di programmare bene. (Va bene qualsiasi linguaggio.) Non ci sono prerequisiti matematici.
Programma di massima: caratteri, files, codice ascii, frequenze dei bytes, codice Morse, codici prefissi, codice di Huffman, entropia dell’informazione, codifica aritmetica, ZIP, gz, bzip2, 7zip.

Docente di riferimento:  
Prof. Francesco MORANDIN | e-mail: francesco.morandin@unipr.it

Durata: da 15 a 20 ore a seconda dei prerequisiti.

Si sa bene che cd, dvd e bluray stipano le informazioni in microscopici solchi su un supporto metallico che viene letto da un laser. Sembra impossibile, vista la precisione necessaria, che i dischi restino leggibili anche con graffi sulla superficie, ma l’esperienza ci dice che fino a che i graffi sono relativamente pochi e non troppo spessi, il disco viene letto perfettamente, mentre superato un certo livello di danni, è possibile che non si possa recuperare più nessuna informazione. La spiegazione non sta tanto
nelle caratteristiche tecniche del laser e del disco, quanto nella matematica coinvolta, che è la stessa che permette di evitare gli errori di trasmissione nelle comunicazioni wifi, telefoniche, televisive e satellitari. Vi sarà una parte di spiegazione frontale e
una parte “sperimentale” in cui gli studenti si cimenteranno con le problematiche e potranno proporre codici di correzione e testarli al calcolatore.

Questo laboratorio è adatto ad un gruppo non troppo numeroso di studenti, almeno un terzo dei quali dovrebbe essere in grado di programmare. (Va bene qualsiasi linguaggio.) Dal punto di vista matematico si usano vettori e matrici, la cui introduzione
può avvenire in classe, oppure all’interno del laboratorio stesso.

Programma di massima: codici elementari, vettori e codici generali, matrici e codici lineari, codici di Hamming, codice di Golay, parity-check codes, codici di convoluzione, codici random, teorema di Shannon, turbocodes, codici di Gallager.

Docente di riferimento:  
Prof. Francesco MORANDIN | e-mail: francesco.morandin@unipr.it 

Durata: 15 ore.

Una pulce si muove a caso sugli interi, partendo da 0 e saltando ad ogni turno a destra o a sinistra con probabilità 1/2. Quanti problemi di combinatoria e probabilità iniziano così! E' la passeggiata aleatoria, che nonostante la sua apparente semplicità ha
al suo interno la ricchezza per familiarizzare con molti concetti importanti e interessanti della probabilità moderna. In questo laboratorio useremo la pulce come guida e come scusa per capire meglio la combinatoria, il concetto di indipendenza, la legge dei grandi numeri e il teorema del limite centrale e per introdurre il moto Browniano, il concetto di gioco onesto con le relative strategie di gioco e la matematica degli investimenti azionari. Questo laboratorio è adatto ad un gruppo non troppo numeroso di studenti di quarta o quinta superiore. Non ha prerequisiti particolari, ma la parte di lezione frontale è preponderante, quindi richiede agli studenti un certo livello di attenzione e di coinvolgimento. Il pubblico ideale è composto da studenti incuriositi da cosa sia la matematica universitaria, in dubbio se iscriversi a matematica o ad altri corsi di laurea tecnici o scientifici.

Docente di riferimento:  
Prof. Francesco MORANDIN | e-mail: francesco.morandin@unipr.it 

I giochi come gli scacchi, la dama, e il tris hanno la caratteristica di non includere elementi casuali (come quelli basati su dadi e carte) e di non avere informazioni nascoste o disponibili solo al giocatore (come la battaglia navale). Come tali si prestano alla ricerca di strategie di gioco ottimali in modo sistematico (e anche semplice, se il gioco a sua volta non è troppo complesso).

In questo laboratorio PLS studieremo come si analizza un gioco per cercare la strategia ottimale e per costruire una intelligenza artificiale che la applichi. Dal punto di vista teorico questo porta all'introduzione degli alberi. Dal punto di vista applicativo, potremo scrivere dei programmi per computer che risolvano il tris, il forza quattro e magari che chiariscano alcuni aspetti minori dell'elegante gioco orientale chiamato go.

Docenti di riferimento: 
Prof. Francesco MORANDIN | e-mail: francesco.morandin@unipr.it 
Prof. Alberto SARACCO | e-mail: alberto.saracco@unipr.it 

Il gioco d’azzardo è ormai diffusissimo in Italia. Ma quali sono gli strumenti matematici per capire e difendersi dalla tentazione? Come si calcolano le probabilità di vincita? Cos'è la speranza di vincita? Perché se le cifre in ballo in una scommessa cambiano, ci comportiamo in modo diverso? Come possiamo visualizzare numeri molto piccoli o molto grandi? Una proposta di percorso tra psicologia, matematica e gioco.

Si potranno esaminare da vicino svariati giochi, a seconda delle preferenze degli studenti: poker, lotterie, gratta e vinci, ma anche Dungeons&Dragons, il gioco dell’oca, Risiko, Magic, backgammon ...

Docente di riferimento: 
Prof. Alessandro ZACCAGNIN | e-mail: alessandro.zaccagnini@unipr.it            

Durata: 15–20 ore.

  1. Teoria elementare dei numeri
  2. Come generare numeri primi: il crivello di Eratostene
  3. Il massimo comun divisore e l'algoritmo di Euclide
  4. Congruenze
  5. Il piccolo teorema di Fermat
  6. Crittografia classica
  7. Crittografia a chiave pubblica
  8. Il crittosistema RSA
  9. Algoritmi di primalità e fattorizzazione
  10. Firma digitale
  11. Il linguaggio PARI/Gp

La prima parte è trattata in 2. e in 1.. Nel testo 3. c'è una descrizione elementare di alcuni crittosistemi, mentre in 4. si possono trovare approfondimenti sugli algoritmi per le operazioni elementari.

Bibliografia essenziale:

  1. A. Languasco & A. Zaccagnini. Introduzione alla crittografia. Ulrico Hoepli Editore, Milano, 2004.
  2. A. Languasco & A. Zaccagnini. Crittografia. Coop. Libraria Editrice Università di Padova, Padova, 2006. Progetto Nazionale Lauree Scientifiche. Sottoprogetto Matematica per il Veneto.
  3. A. Zaccagnini. Cryptographia ad usum Delphini. Quaderno n. 459, Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma, febbraio 2007. http://people.dmi.unipr.it/alessandro.zaccagnini/psfiles/papers/CryptoDelph.pdf.
  4. A. Zaccagnini. Riesame critico delle operazioni elementari. In M. Belloni e A. Zaccagnini, (a cura di), Uno sguardo matematico sulla realtà — Laboratori PLS 2010–2014, pagg. 71–91. Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Parma. PLS – Parma. CLEUP, Padova, 2014. ISBN 978-88-6787203-9
  5. Video Cryptographia ad usum Delphini

Docente: 
Prof. Alessandro ZACCAGNINI | e-mail: alessandro.zaccagnini@unipr.it      

Durata: 12–15 ore.

  1. L'algoritmo di Euclide
  2. Complessità dell’algoritmo di Euclide e numeri di Fibonacci
  3. Frazioni continue per numeri razionali
  4. Il problema dell’approssimazione di numeri reali
  5. Frazioni continue per numeri reali qualsiasi
  6. Frazioni continue per gli irrazionali quadratici
  7. Applicazioni: calcolo numerico, progettazione di ingranaggi.

Alcune informazioni aggiuntive:

Docente di riferimento: 
Prof. Alessandro ZACCAGNINI | e-mail: alessandro.zaccagnini@unipr.it    

Ci proponiamo di realizzare con gli studenti alcuni oggetti legati a strutture matematiche, solo apparentemente elementari. Alla fine del percorso gli studenti dovranno realizzare una presentazione (una serie di lucidi o un mini-video) nella quale descriveranno le varie fasi del progetto, le difficoltà incontrate e come queste sono state superate.

  1. Costruzione di grafi
    L'obiettivo di questa parte del progetto è un riesame critico delle proprietà delle operazioni, in particolare della moltiplicazione.

    E` possibile associare alle operazioni elementari di addizione e moltiplicazione un "grafo" che ne descrive l'effetto sui numeri naturali. Mentre nel caso dell'addizione il grafo è molto semplice, in quello della moltiplicazione è molto più complesso e riflette la ricchezza dell'operazione. Il grafo permette di rivisitare in modo naturale il concetto di numero primo, di multiplo, di minimo comune multiplo, di massimo comun divisore.

    Dopo aver studiato alcuni esempi dal punto di vista astratto, costruiremo una porzione del grafo in questione mostrando che è necessario uscire dal piano per poterlo disegnare senza intersezioni. In particolare, il grafo sarà disegnato su un toro, di cui realizzeremo un modello concreto con una scatoletta, cartoncino e pennarelli colorati.
     
  2. Dimostrazioni combinatorie in Teoria elementare dei numeri
    La seconda parte del progetto riguarda due dimostrazioni "senza parole" di due classici risultati della Teoria elementare dei numeri, il teorema di Fermat e quello di Wilson. Illustreremo questi teoremi mediante alcuni esempi numerici, per poi passare alla realizzazione concreta di alcuni oggetti (collane e orecchini fatte con perline colorate) il cui conteggio fornisce le dimostrazioni formali richieste. L'interesse risiede nel fatto che le dimostrazioni sono sostanzialmente prive di formule e calcoli, a differenza di quello che di solito ci si aspetta dalla matematica.

I materiali da cui partire per entrambe le parti di cui si compone il progetto sono già stati in gran parte preparati in alcuni articoli e i corrispondenti video divulgativi.

Modificato il

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